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title: Simpson's Rule
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localeTitle: 辛普森的规则
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# 辛普森的规则
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在数值分析中，辛普森的规则是数值积分的方法_（定积分的数值逼近）_ 。
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辛普森的规则近似于形式的整合，
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哪里，
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* `f(x)`称为_被积函数_
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* `a` =整合的下限
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* `b` =整合的上限
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## 辛普森的1/3规则
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如上图所示，被积函数`f(x)`由二阶多项式近似;二次插值是`P(x)` 。
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接近，
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将`(ba)/2`替换为`h` ，我们得到，
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如您所见，上述表达式中有`1/3` 。这就是为什么，它被称为**辛普森的1/3规则** 。
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如果某个函数在某些点上具有高度振荡或缺乏导数，则上述规则可能无法产生准确的结果。处理此问题的一种常见方法是将间隔`[a,b]`分解为许多小的子间隔。然后将辛普森的规则应用于每个子区间，将结果相加以产生整个区间内积分的近似值。这种方法被称为_复合辛普森的规则_ 。
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假设区间`[a,b]`被分成`n`个子区间， `n`是偶数。然后，复合Simpson的规则给出，
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其中**x j = a + jh** ， **j = 0,1，...，n-1，n，**其中**h =（ba）/ n** ;特别地， **x 0 = a**且**x n = b** 。
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#### 例：
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**取下面给出的积分值，取n = 8。**
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在C ++中实现Simpson的1/3规则如下：
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```cpp
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#include<iostream>
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#include<cmath>
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using namespace std;
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float f(float x)
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{
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return x*sin(x); //Define the function f(x)
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}
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float simpson(float a, float b, int n)
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{
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float h, x[n+1], sum = 0;
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int j;
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h = (ba)/n;
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x[0] = a;
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for(j=1; j<=n; j++)
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{
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x[j] = a + h*j;
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}
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for(j=1; j<=n/2; j++)
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{
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sum += f(x[2*j - 2]) + 4*f(x[2*j - 1]) + f(x[2*j]);
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}
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return sum*h/3;
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}
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int main()
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float a,b,n;
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a = 1; //Enter lower limit a
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b = 4; //Enter upper limit b
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n = 8; //Enter step-length n
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if (n%2 == 0)
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cout<<simpson(a,b,n)<<endl;
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else
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cout<<"n should be an even number";
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return 0;
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}
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```
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## 辛普森的3/8规则
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辛普森的3/8规则类似于辛普森的1/3规则。唯一的区别在于，这里，插值是一个三次多项式。 3/8规则大约是1/3规则的两倍，但它使用了一个以上的函数值。
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辛普森的3/8规则规定：
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将`(ba)/3`替换为`h` ，我们得到，
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对于n个区间，Simpson的3/8规则（n应该是3的倍数）：
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其中**x j = a + jh** ， **j = 0,1，...，n-1，n，**其中**h =（ba）/ n** ;特别地， **x 0 = a**且**x n = b** 。
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### 更多信息：
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1. [辛普森的规则](https://en.wikipedia.org/wiki/Simpson%27s_rule)
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2. [辛普森的1/3规则](w3.gazi.edu.tr/~balbasi/mws_gen_int_txt_simpson13.pdf) |