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Simpson's Rule	Regla de simpson

Regla de simpson

En el análisis numérico, la regla de Simpson es un método para la integración numérica (aproximación numérica de integrales definidas) .

La regla de Simpson se aproxima a la integración de la forma,

dónde,

f(x) se llama integrand
a = límite inferior de integración
b = límite superior de integración

Regla 1/3 de Simpson

Como se muestra en el diagrama anterior, el integrando f(x) se aproxima mediante un polinomio de segundo orden; siendo el interpolante cuadrático P(x) .

La aproximación sigue,

Reemplazando (ba)/2 como h , obtenemos,

Como puede ver, hay un factor de 1/3 en la expresión anterior. Por eso, se llama la regla 1/3 de Simpson .

Si una función es altamente oscilatoria o carece de derivados en ciertos puntos, entonces la regla anterior puede no producir resultados precisos. Una forma común de manejar este problema es dividiendo el intervalo [a,b] en varios subintervalos pequeños. La regla de Simpson se aplica a cada subintervalo, y los resultados se suman para producir una aproximación de la integral en todo el intervalo. Este tipo de enfoque se denomina la regla de Simpson compuesta .

Supongamos que el intervalo [a,b] se divide en n subintervalos, siendo n un número par. Entonces, la regla compuesta de Simpson está dada por,

donde x j = a + jh para j = 0,1,…, n-1, n con h = (ba) / n ; en particular, x 0 = a y x n = b .

Ejemplo:

Aproxime el valor de la integral dada a continuación, tomando n = 8.

La implementación de la regla 1/3 de Simpson en C ++ es la siguiente:

#include<iostream> 
 #include<cmath> 
 using namespace std; 
 
 float f(float x) 
 { 
    return x*sin(x);    //Define the function f(x) 
 } 
 
 float simpson(float a, float b, int n) 
 { 
    float h, x[n+1], sum = 0; 
    int j; 
    h = (ba)/n; 
 
    x[0] = a; 
 
    for(j=1; j<=n; j++) 
    { 
        x[j] = a + h*j; 
    } 
 
    for(j=1; j<=n/2; j++) 
    { 
        sum += f(x[2*j - 2]) + 4*f(x[2*j - 1]) + f(x[2*j]); 
    } 
 
    return sum*h/3; 
 } 
 
 int main() 
 { 
    float a,b,n; 
    a = 1;      //Enter lower limit a 
    b = 4;      //Enter upper limit b 
    n = 8;      //Enter step-length n 
    if (n%2 == 0) 
        cout<<simpson(a,b,n)<<endl; 
    else 
        cout<<"n should be an even number"; 
    return 0; 
 }

Regla 3/8 de Simpson

La regla de 3/8 de Simpson es similar a la regla de 1/3 de Simpson. La única diferencia es que, aquí, el interpolante es un polinomio cúbico. La regla 3/8 es aproximadamente el doble de precisa que la regla 1/3, pero utiliza un valor de función más.

La regla 3/8 de Simpson dice:

Reemplazando (ba)/3 como h , obtenemos,

La regla 3/8 de Simpson para n intervalos (n debe ser un múltiplo de 3):