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| Binomial Distribution | Distribuição binomial |
Distribuição binomial
A distribuição binomial descreve a probabilidade de ter exatamente k sucessos em n tentativas independentes de Bernoulli com probabilidade de sucesso p .
Existem quatro condições que devem ser satisfeitas antes que possamos usar a distribuição binomail.
- Os ensaios são independentes.
- O número de tentativas,
n, é fixo. - Cada resultado do estudo pode ser classificado como um sucesso ou um fracasso.
- A probabilidade de sucesso,
p, é a mesma para cada tentativa.
Exemplo
Considere uma experiência de jogar uma moeda justa 10 vezes. Deixe o resultado de um "Heads" ser sucesso e resultado de "Tails" um fracasso.
- Jogar uma moeda é uma tentativa do experimento e cada vez que lançamos uma moeda, o resultado obtido é independente do resultado de qualquer outra tentativa.
- Estamos jogando a moeda 10 vezes (um valor fixo de
n). - Nós decidimos considerar "Heads" como um sucesso e "Tails" como um fracasso.
- A probabilidade de obter uma cabeça com uma moeda justa é de 0,5 e isso é o mesmo em cada tentativa.
Todas as quatro condições são satisfeitas, portanto, podemos modelar essa experiência usando a distribuição Binomial.
Vamos encontrar a probabilidade de obter um Heads exatamente uma vez, ou seja, 1 sucesso.
Há 10 lançamentos e qualquer um poderia ter resultado em um resultado de Heads, e cada um desses 10 cenários tem a mesma probabilidade. Assim, a probabilidade final pode ser escrita como: [# Number of Scenarios] x P(single scenario)
O primeiro componente da equação acima é o número de maneiras de organizar k = 1 sucessos entre n = 10 tentativas. O segundo componente é a probabilidade de qualquer um dos quatro (igualmente prováveis) cenários.
Considere P(Single Scenario) sob o caso geral de k sucessos e n - k falhas em n tentativas. Para encontrar o valor, use a regra de multiplicação para eventos independentes:
O número de maneiras de obter k sucessos de n tentativas pode ser escrito como n escolha k :
Assim, a fórmula geral para obter a probabilidade de observar exatamente k sucessos em n ensaios independentes é dada por:
Assim, a probabilidade de obter exatamente um Heads em testes é:
Média e variância
A média de uma distribuição binomial com n tentativas em que p é a probabilidade de um sucesso é dada por:
e variância:
